货币时间价值与估值
财管的计算题有一半在这里。先把「一笔钱」和「一串钱」两种模型搞清楚，剩下的都是套公式。
一、一笔钱：复利
FV = PV × (1 + r)^n
PV = FV / (1 + r)^n
- 单利 vs 复利：考试默认复利；
- 有效年利率（EAR）：
(1 + r/m)^m − 1，其中 m 为每年复利次数； - 连续复利：
e^r − 1。
二、一串钱：年金
| 类型 | 现值公式 | 终值公式 |
|---|---|---|
| 普通年金（期末付） | PV = A × [1 − (1+r)^−n] / r | FV = A × [(1+r)^n − 1] / r |
| 预付年金（期初付） | 普通年金现值 × (1 + r) | 普通年金终值 × (1 + r) |
| 递延年金 | 普通年金现值再折现 m 期 | — |
| 永续年金 | PV = A / r | 无 |
| 永续增长 | PV = A₁ / (r − g) | 无 |
记法：年金现值系数记为 (P/A, r, n)，终值系数 (F/A, r, n)，复利现值 (P/F, r, n)。
三、债券估值
债券价值 = 未来利息的现值 + 本金的现值：
V = Σ [C / (1+r)^t] + F / (1+r)^n
其中 C 为每期票面利息，F 为面值，r 为市场利率（折现率）。
三个关系：
- 市场利率 > 票面利率 → 折价发行；
- 市场利率 < 票面利率 → 溢价发行；
- 市场利率 = 票面利率 → 平价。
价格-利率反向关系：利率上升，债券价格下降；期限越长、票息越低，价格对利率越敏感（久期越大）。
到期收益率（YTM）
使债券未来现金流现值等于当前价格的折现率。半年付息一次时：
价格 = Σ [C/2 / (1+y/2)^t] + F / (1+y/2)^(2n)
算出的 y 是名义年利率，有效年利率 = (1 + y/2)^2 − 1。
四、股票估值
零增长模型
P₀ = D / r
固定增长（戈登模型）
P₀ = D₁ / (r − g) = D₀ × (1 + g) / (r − g)
成立条件：r > g，且 g 长期可持续（通常不应高于 GDP 增速太多）。
两阶段模型
前 n 年高速增长，之后稳定增长：
P₀ = Σ [D_t / (1+r)^t] + [D_{n+1} / (r − g)] / (1+r)^n
考试里的标准套路：
- 算前 n 年每年的股利（按高增长率）；
- 算第 n 年末的「终值」= D_{n+1} / (r − g)；
- 全部折现到 0 时点。
市盈率模型
P = 每股收益 × 市盈率
驱动因素：P/E = 股利支付率 × (1+g) / (r − g)。
五、资本预算：NPV 与 IRR
NPV = Σ [CF_t / (1+r)^t] − 初始投资
决策规则：
| 指标 | 规则 | 缺点 |
|---|---|---|
| NPV | > 0 接受 | 需要准确的折现率 |
| IRR | > 资本成本接受 | 非传统现金流可能多解；互斥项目可能选错 |
| 回收期 | 越短越好 | 忽略时间价值和回收后的现金流 |
| 盈利指数 | > 1 接受 | 互斥项目规模问题 |
互斥项目优先用 NPV，因为 IRR 隐含「再投资收益率 = IRR」的不现实假设。
六、易错点
- 年金公式里的 n 是期数，不是年数（半年付息要 ×2）
- 戈登模型分子用 D₁（下一期），不是 D₀
- 两阶段模型里，终值折现用 n 期，不是 n+1 期
- 永续增长模型隐含 g < r，g ≥ r 时公式无意义
- 债券溢价/折价摊销用实际利率法，不是直线法